Cuentos

Los Tres Ceritos

David Gutiérrez Rubio (Davidi)

Eranse una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo K. Uno era muy listo, otro muy vago, y otro muy confiado.

Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos como éste, era costumbre que el uno hiciera estas visitas cada cierto tiempo característico (la característica de un cuerpo es el menor entero n tal que 1+...+1(n veces)=0), que dependía del cuerpo donde vivían. Sin embargo, ese día, su amigo les trajo malas noticias.

-"Lo siento amigos míos, pero tendréis que marcharos. El congreso acaba de aprobar una ley conocida como `Teorema de unicidad de elementos neutros para la suma.' que prohibe la estancia en el cuerpo de más de un cero."

-"¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse.", dijo uno de los ceritos.

-"Lo siento, pero el puesto ya está cogido por un cero con enchufe. Dicen que es primo del famoso Cero de Hilbert. Temo que tendréis que iros los tres."

Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más allá de las extensiones finitas, a un espacio normado propiedad de un multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los ceritos, el cual les dejó vivir allí.

Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología empleada en la construcción del espacio era
muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.

-"Yo me haré una casita con hiperplanos." dijo el cerito más confiado. Dicen que este cerito era tan confiado, que cuando iba al médico a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía sin ningun tipo de rigor.

-"Yo me construiré una casa con matrices." dijo el cerito más vago. Malas lenguas contaban que era tan vago, que en la fábrica de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con solución trivial.

-"Pero deberíais haceros casas más fuertes, pues sé que por aquí ronda una esfera descentrada muy feroz, que os comerá cuando tenga la oportunidad.", dijo el cerito sabio. Cuentan que este cerito era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números! (segun la definición de divisibilidad, el cero no puede dividir a ningun número).

-"¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!."

-"Haced lo que queráis, pero yo me haré una casa fuerte, compacta, y por lo tanto cerrada y acotada.", y dicho esto, se marchó.

Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito confiado tenía su casita hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita compuesta enteramente de matrices.

Al cerito sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo que comprar un 3-cubo compacto y empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó, se dió cuenta de que el tejado tenía algunas discontinuidades evitables que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar unos cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.

Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota alrededor (como su casa era compacta, sabía que podría construir una), pero como había tenido la precaución de hacer su casa diferenciable pudo localizar fácilmente los puntos más alejados y a partir de ahí construir la cota.

Como véis al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre derivadas, que aprendió de sus múltiples peregrinaciones por la Ruta Jacobiana.

Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.

-"Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba a estar harto de alimentarme de restos de divisiones euclídeas."

Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como estaba descentrada, la malvada esfera podía moverse por donde quisiera). (Dado que todos los puntos deben distar siempre lo mismo del centro).

No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde mirara, siempre veía parte de su casa, (una recta y un hiperplano proyectivos siempre se cortan, en este caso, la recta es la mirada de la esfera y el hiperplano el material de que está hecha la casa del cerito confiado) así que fue hacia allí.

-"¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y la casa proyectaré!.", amenazó la esfera.

-"No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles y aguantará.", respondió el cerito.

Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido un punto en un accidente con un equipo estereográfico (la proyección estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto).

Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que dualizó la casa del cerito convirtiendo los hiperplanos de ésta en un montoncito de puntos insignificantes. El cerito, asustado, salió corriendo por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito vago.

La malvada esfera salió corriendo detras del cerito, pero nuestro amigo atajó por una subsucesión que le llevó a su destino más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse en la subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente la ignorancia de la esfera de no conocer el Teorema Fundamental del Límite: En una sucesión que converge, cualquier subsucesión converge al mismo sitio), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al cerito vago y de resguardarse en la casita hecha de matrices.

Al cabo de un rato llegó la esfera. Gritó:

-"¡Jo, jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no podeis nada contra mí, salid inmediatamente o soplaré, soplaré y la casa reduciré!."

-"No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermítica y aguantará!.", respondió el cerito.

Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas las matrices de la casa por columnas (si la esfera hubiera soplado hacia arriba o abajo, hubiera reducido las matrices por filas), convirtiendo la casa en un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera poco los dos ceritos hubieran salido volando de no ser porque se agarraron a un pivote de una matriz que todavía quedaba en pie.

Pero ¿por qué era tan mala la esfera?. Según se cuenta, la esfera estuvo trabajando en una banda criminal llamada La Banda de Moebius, de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a nuestro cuento.

Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron montado en una tractriz, plantando grafos en su huerto. Corrían tanto que saltaron la cota de la casa de un salto.

-"¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere devorarnos!."

-"No os preocupéis, entrad en mi casa, veréis cómo la esfera no puede hacernos daño.", dijo el cerito sabio. Y dicho esto, se metieron en la casa.

Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo encontrar el camino porque uno de los ceritos pisó un punto de tinta de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide (si una circunferencia rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama cicloide; no olvidemos que los ceritos son redondos.) que iban dejando tras ellos.

Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:

-"¡Por fin os tengo a los tres juntos, salid o soplaré, soplaré y la casa despejaré!.".

-"Nunca", dijo el cerito sabio, "mi casa es fuerte y aguantará".

Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era compacta, sólo llegaron a ella un número finito de soplidos, lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y sopló con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido la precaución de hacerse una casa con superficie Gaussiana, con lo cual todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.

La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento para dejar caer sobre ella un pesado atlas de 6 tomos que recubrieron totalmente a la esfera dejando a ésta aprisionada.

Entonces los ceritos agarraron a la esfera por una de sus geodésicas y tirando, tirando, consiguieron deshilacharla y convertirla en una curva, y hecho esto la llevaron a R^2 donde ahora podría llevar una vida con parámetro natural.

Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron ser más trabajadores y menos confiados.



Y colorín, corolario colorado,
este cuento se ha terminado.

Dirigido a Profesores de Matemática.

Resolución de problemas:
¿Por qué 1 + 1 es igual a 2?

¿Cómo se puede formar el numero 1 utilizando cualquier operación matemática, sin dejar de usar todos los dígitos del 0 al 9? . Encontrar como mínimo 2 respuestas.

De un globo esférico está escapando gas a razón de 2 m3/seg.¿ A que razón está decreciendo el área del globo cuando el radio es de 12 m?

Vesfera = 4/3 p r3 Aesfera = 4 p r2

Docentes

Asesoramiento a docentes.
En el foro destinado a los docentes se proponen temas de discusión acerca de planificaciones, evaluaciones, estrategias, metodologías, propuestas didácticas, etc. Todos estos puntos serán puestos a disposición de los participantes si los autores desean que sea publicado.

Las propuestas provenientes de alumnos del profesorado son visadas y consensuadas por docentes del profesorado.
También en este espacio los docentes pueden tener acceso a link en donde pueda consultar bibliotecas virtuales e información, como así también programas aplicables a la materia.

El objetivo del espacio es ayudar y acompañar al docente en el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática con el fin de acercar la matemática a los alumnos.

(2) Actividades para Nivel Medio

Nivel 2: Tercer, Cuarto y Quinto año.
Los temas seleccionados para el nivel 2 son los siguientes:

Tema 1: Función Cuadrática
No podemos ignorar la relevancia que tienen las funciones cuadráticas, no sólo en nuestra disciplina, sino en muchas otras en las que el tratamiento de estas se hace indispensable, como por ejemplo en la física, la química u otras.
Objetivos de la actividad:
* Recordar el concepto de Función
* Reconocer la función cuadrática y deducir, analíticamente, las soluciones de la ecuación cuadrática.
Problema: Las edades de Gaby y Cris suman 41 años el producto de ambas edades es de 414 años. Encuentra las edades de ambas.

Tema 2: Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
El uso de este tema en la vida cotidiana es muy importante porque tienen múltiples aplicaciones. También consideramos que es fundamental que el alumno comprenda la relación existente entre la teoría y la práctica para poder usar adecuadamente los conocimientos.
Objetivos de la actividad:
* Plantear y resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante el método de determinante.
* Plantear y resolver problemas de la vida diaria mediante un sistema de ecuaciones.
* Comprobar si un par de números es o no solución de un sistema de ecuaciones.
Problema: Matías tiene 10 monedas. Algunas son de 0,50 y otras son de 0,25. En total tiene $3,25. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo?

(1) Actividades para Nivel Medio

Eje: Nivel Medio:
Destinatarios: Nivel Secundario
Vamos a dividir al total de los destinatarios en dos niveles (los niveles tienen que ver con el grado de escolaridad).
Nivel 1: Primero y Segundo año.
Los temas seleccionados para el nivel 1 son los siguientes:

Tema 1: Notación Científica
Nos parece un tema muy importante ya que permite reducir la notación un número muy grande o muy pequeño. Además es la manera mas fácil de tratar temas matemáticos con decimales, de esta manera se logra trabajar de una forma más cómoda y rápida.
Objetivos de la actividad:
* Comprender el uso de la notación científica
* Relacionar la notación científica con situaciones cotidianas.
Problema: Esteban quiere calcular cuántos kilómetros hay en un año luz. Como la luz viaja a 300.000 Km/seg., ¿Cuántos segundos hay en un año?, ¿Cuántos Kilómetros hay en un año luz?.

Tema 2: Lenguaje Algebraico
El lenguaje algebraico es la parte más básica de las matemáticas y es la introducción al tema ecuaciones, por esto consideramos que es fundamental la comprensión por parte de los alumnos.
Objetivos de la actividad:
* Simbolizar en el lenguaje algebraico enunciados dados en forma verbal.
* Reconocer incógnitas.
Problema: Adivina…números
1. Piensa un número
2. Súmale 5
3. Multiplica el resultado por 2
4. A lo que quedó réstale 4
5. El resultado divídelo entre 2
6. A lo que quedó réstale el número que pensaste.
Probar con distintos números.
¿Por qué el resultado es siempre el mismo?
De qué manera podrías demostrarlo.

(2) Actividades para nivel primario

Eje: Geometría.
Destinatarios: Alumnos de 4º, 5º y 6º grado.-
Los cuerpos geométricos pueden aparecer en todos lados, hasta en la forma de las porciones de queso que se sirven en una fiesta. ¿Te animás a ayudar a un chef a organizar su trabajo?

 Un chef preparó una serie de bocaditos de queso para agasajar a los invitados a una fiesta. Como éstos eran profesores de matemática, decidió que las porciones de queso para los bocaditos de la recepción tuvieran formas originales, como las siguientes:


Al enterarse de que la cantidad de invitados no había sido respetada y de que se permitió que cada uno de ellos llevara a un acompañante, decidió partir cada bocadito en dos partes iguales. Como el tiempo no sobraba, pidió ayuda a uno de sus compañeros, para que todo quedara listo a tiempo.
Sin embargo, a la hora de acomodar los bocaditos en las respectivas bandejas, reparó en la diversidad de formas que habían aparecido.
Veamos un ejemplo: si un bocadito tenía forma cúbica y se lo cortó como muestra el dibujo, se obtuvieron dos bocaditos que llamaremos bocaditos rectángulo:


¿Te animás a ayudar al chef?
1. Imprimí los dibujos de los cuerpos. Proponé distintos cortes para los bocaditos de queso.
2. Dibujá cada una de las partes en las que quedó dividido cada bocadito según el corte que propusiste. Poneles un nombre.
3. Proponé otros cortes, si fueran posibles, de modo que el bocadito obtenido pueda apoyarse sobre un círculo o rectángulo, triángulo, elipse, cuadrado, hexágono. Explicá cada una de tus propuestas.
4. Si estás trabajando en grupo, compará con la distribución hecha por otros compañeros para ver quién colocó más bocaditos.
Referencias curriculares:
La situación planteada a partir de los bocaditos de queso contiene actividades que tienden a la comprensión de los conceptos relativos a los sólidos, las secciones, el cálculo del volumen y la conceptualización del espacio. Brinda a su vez posibilidades de síntesis y aplicación de dichos conceptos.
La presentación de formas básicas y conocidas, como el cubo, el cilindro, el cono y la pirámide, favorece el logro de un aprendizaje significativo, tanto desde la óptica de la asignatura como del material que se presenta como soporte del contenido a trabajar.
La actividad que se presenta tiene por finalidad utilizar el recurso de la visualización para el abordaje de los contenidos de la geometría.
Comentario:
Los alumnos que acepten el desafío pueden enviar sus propuestas a través de la misma página interactiva o quizás remitir sus propuestas al Instituto, para ser analizadas y debatidas en clase por el grupo de alumnos. A posterior se puede enviar una respuesta, una felicitación o algún aspecto correctivo sobre el trabajo presentado.

(1) Actividades para nivel primario.

Eje: Geometría.

Destinatarios: Alumnos de 1º, 2º y 3º grado.

La actividad pretende partir de la elaboración de una presentación animada que abarque la definición de triángulo y la forma en que un triángulo es nombrado (Uso de los vértices de la figura)

La segunda presentación debería contener una explicación sobre los criterios de la primera clasificación de triángulos (Cuándo es equilátero, isósceles o escaleno)

Una tercera presentación puede tratar las características del triángulo escaleno o isósceles que tiene un ángulo interno recto (Triángulo rectángulo) y al mismo tiempo, dar nombre a los lados de este triángulo especial. (Catetos e hipotenusa)

Luego de estas presentaciones informativas, la actividad consistiría en la presentación de una serie de desafíos a modo de test.

¿De qué tipo de triángulo se trata? Presentando tres triángulos diferentes y resaltado uno de ellos, los alumnos deberán seleccionar teniendo en cuenta la primera clasificación de triángulos, a qué categoría pertenece. Si el alumno elige la respuesta correcta, debería de aparecer en su pantalla una nota de felicitaciones, caso contrario, una nota con una sugerencia.

Se podrían presentar varias de estas secuencias. Retomando los conceptos abordados en las secuencias iniciales explicativas.

Es necesario que en todas las preguntas exista la representación de las figuras con y sin señalizaciones de congruencia de lados, para que los alumnos puedan basar su proceso de selección y respuesta en la observación de las imágenes.